初中数学切线判定做题技巧 初中数学切线考什么? 初中数学切线的定义
初中数学中关于切线的考点主要集中在圆与直线的位置关系和切线的性质与判定上。下面内容是具体的聪明点、常见题型及解题技巧
一、核心聪明点
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切线的定义
- 直线与圆有且仅有一个公共点时，这条直线称为圆的切线，公共点称为切点。
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切线的判定技巧
- 判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（即：若直线过圆上一点，且与该点处的半径垂直，则这条直线是切线） - 距离法：圆心到直线的距离等于半径时，直线是圆的切线。
- 判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
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切线的性质
- 切线垂直于过切点的半径。
- 从圆外一点引圆的切线，切线长相等（切线长定理）。
- 连接圆心和圆外点的线段平分两条切线的夹角。
二、常见题型与解题技巧
题型1：证明一条直线是圆的切线
技巧：
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判定定理法
- 若已知直线过圆上一点，连接圆心与该点，证明这条半径与直线垂直。
- 例题：
如图，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，CD⊥AB于D，且CD与圆交于E。求证：直线CE是⊙O的切线。
解析：连接OE，证明OE⊥CE即可。
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距离法
- 计算圆心到直线的距离，证明其等于半径。
- 例题：
已知圆心O(0,0)，直线方程为3x + 4y = 10。证明这条直线是⊙O的切线。
解析：
\( d = \frac|3×0 + 4×0 -10|}\sqrt3 +4}} = \frac10}5} = 2 \)，若⊙O半径r=2，则直线是切线。
题型2：利用切线性质求角度或长度
关键：切线垂直于半径，常结合勾股定理、相似三角形或三角函数。
例题：
如图，PA、PB是⊙O的切线，切点A、B，∠APB=60°，OP=10，求⊙O的半径。
解析：
由切线长定理知PA=PB，且OP平分∠APB，故∠OPA=30°。
在Rt△OAP中，\( OA = OP \cdot \sin30° = 10×0.5 = 5 \)。
题型3：与切线相关的综合题
常见形式：
- 坐标系中求切线方程（初中较少，需结合一次函数）。
- 动态几何难题（如动点产生的切线位置变化）。
例题：
已知⊙O的半径为3，点P(5,0)，求过点P且与⊙O相切的直线方程。
解析：
设切线方程为y = kx + b，由距离公式得：
\( \frac|k×0 -0 + b|}\sqrtk +1}} = 3 \)，且切线过(5,0)，代入得方程组求解k和b。
三、易错点与注意事项
- 混淆切线与割线：切线必须仅有一个交点，否则为割线。
- 忽略垂直关系：用判定定理时，必须明确“半径”与“直线垂直”两个条件。
- 多解难题：从圆外一点引切线通常有两条，需注意题目是否隐含多种情况。
四、拓展资料
切线的核心是垂直关系和距离相等，解题时需：
- 明确题目是判定切线还是利用切线性质；
- 灵活运用勾股定理、三角函数或相似三角形；
- 注意分类讨论（如双切线情况）。
小贴士：多画图辅助分析，标注已知条件，便于发现几何关系！
